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《The Mathematics of Poker》中文翻译
牌例7.3
依然是底池限注德州扑克游戏。
玩家X：As Ad
玩家Y：8c 7c
翻牌是：9c 6c 2d
（这里我们再次排除A对后门葫芦听和78后两对的情况，只考虑78每条街击中15张补牌与否）
底池有$100，双方后手都有$400。
从上一个牌例的讨论中我们已经得知如果X翻牌圈下注$100，X的权益是$-4.55，如果X翻牌圈过牌，X的权益是$65.15。
那如果X下注范围在两者之间呢？比如说他下注$5，结果会怎样呢？
当然我们可以确定转牌圈的行动，如果玩家Y击中听牌，X不会主动下注，如果没有击中，X必然会下注甚至全下。因此，我们可以将X的全部权益用翻牌圈下注量的函数表示出来，我们先假设翻牌圈X主动下注量为x（x的范围是$0-$100,超过$100的情况我们稍后继续讨论），相应底池就是（2x+$100）。
我们可以带入数值进行检验，<X，$0>=$65.15，并且还有<X，$100>=$95.45。<X，$x>这个公式只适用于$0-$100，如果超过$100，X就没有足够的后手筹码进行满池下注。所以我们可以算出超过$100的情况。
带入x=$400 进行验算，可得X的权益为-$4.55。
所以现在我们得到一个以X玩家翻牌圈主动下注量为变量的两段函数：
现在我们再次考虑X下注$5的情况，虽然X有很多种加注量可以选择，但是当我们参照之前总结的X的权益公式就能排除许多选择。Y能加注的范围是在$10到$115之间，如果他下注量介于$10到$100之间的话，他只会单纯的增加X的权益；如果下注量是$100到$115之间，下注量增大时，X的权益随之减少，Y肯定更倾向于下注$115。
所以我们只用比较这两种情况下X的权益：
由此可得，Y只需要选择跟注$5即可。
X的翻牌圈下注$5使他的权益增加$1.5。换句话说，X每多下注1美元就会使他的权益增加10/33。如果X下注$10，Y同样也会跟注，但是他的权益额外增加了$1.52到$68.19。实际上，X会不断增加下注量，直到Y不管如何行动，X的权益都相同。Y的行动有两种：一种仅仅跟注X的下注量；另一种是做一个一倍底池加注，这样底池大小就是3x+$100。
这是对X来说合适的下注量；这使得他的期望效用最大。无论Y玩家如何行动，X都能保证最少$72.20的权益。
上述所有公式也证明了就算在明牌扑克中，后手筹码量都是有决定性的作用的。除此之外，我们可以从结果看出，筹码越深，对成牌玩家越有利，这样他们就有足够的筹码在对手没听到牌的时候惩罚他们。这与我们平时对听牌与成牌的看法有些背道而驰，即普遍认为听牌可以在深筹码以及隐含赔率中受益。
另外一个可以从这些牌例中得到的重要概念是：
强听牌在牌局的早期打到全下是非常有利可图的。
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